数学分析(B2)
多变量微积分、Fourier 分析和含参变量的积分。
教材
程艺、陈卿、李平：《数学分析讲义》第二册，高等教育出版社，2020 年第 1 版。
参考书
- R. Courant，F. John：《微积分和数学分析引论》，张鸿林、周民强译，科学出版社 2001 年第 1 版。
- 常庚哲、史济怀：《数学分析教程》，中国科学技术大学出版社 2012 年第 3 版。
- W. Rudin：《数学分析原理》，赵慈庚、蒋铎译，机械工业出版社 2004 年（原书）第 3 版。
- K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence: Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, Third Edition 2006.
简介
《数学分析》B 系列共由三门课程组成，分别标记为 (B1)、(B2)、(B3)。其中，《数学分析(B1)》和《数学分析(B2)》面向理工科一年级学生，主要讲授数学分析和微积分基本内容，突出基本思想，基本方法，基本计算和推导。其内容相对完整，是理工科学生必备的数学分析和微积分的基本知识。《数学分析(B3)》从内容、观点和方法上，是前两门课程的深化、提升和拓展，主要针对大学一年后选择数学专业或其他感兴趣的学生。
《数学分析(B2)》课程的内容包括空间解析几何，多变量函数的连续性，多变量函数和向量值函数的微分学，隐函数和反函数定理，多变量函数的 Taylor 展开、极值和条件极值，空间曲线和曲面，向量场的梯度、旋度和散度，重积分，曲线积分和曲面积分，格林定理、高斯–斯托克斯定理，保守场，微分形式简介，Fourier 分析，广义积分和含参变量积分。
教学目标和基本要求
本课程是《数学分析》B 系列三个课程的第二个课程，主要目标是要求学生掌握多变量微积分（包括简单的空间解析几何），Fourier 分析和含参变量的积分的基本理论。掌握多变量微积分的主要思想和基本公式，学会用多变量微积分的思想处理复杂的问题，为后面的学习做好准备，并在科学研究和各行各业中有广泛的实际应用。
重难点
重点
- 复合函数求导法则。
- Taylor 公式与极值。
- 第二型曲线积分和曲面积分。
- Fourier 分析。
难点
- 隐函数。
- Gauss 公式和 Stokes 公式。
- Fourier 级数的收敛性。
课程章节主要内容及学时分配
第 8 章 空间解析几何（12 学时）：向量与坐标系，平面与直线，二次曲面，坐标变换和其他常用坐标系。
第 9 章 多变量函数的微分学（22 学时）：多变量函数及其连续性，多变量函数的微分，隐函数定理和逆隐射定理，空间曲线和曲面，多变量函数 Taylor 公式与极值，向量场的微商，微分形式。
第 10 章 多变量函数的重积分（14 学时）：二重积分，二重积分的换元，三重积分，\(n\) 重积分。
第 11 章 曲线积分和曲面积分（22 学时） ：数量场在曲线上的积分，数量场在曲面上的积分，向量场在曲线上的积分，向量场在曲面上的积分，Gauss 定理和 Stokes 定理，其他形式的曲线积分和曲面积分，保守场，微分形式的积分。
第 12 章 Fourier 分析（14 学时）：函数的 Fourier 级数，平方平均收敛，收敛性定理的证明，Fourier 变换。
第 13 章 反常积分和含参变量的积分（16 学时）：反常积分，反常多重积分，含参变量的积分，含参变量的反常积分，Euler 积分。