线性代数(A1)
线性空间理论和矩阵理论。
教材
- 王新茂：《线性代数讲义》，中国科学技术大学出版社，2021 年第 1 版。
- 李尚志：《线性代数》，高等教育出版社，2006 年第 1 版。
参考书
李炯生、查建国：《线性代数》，中国科学技术大学出版社，2010 年第 2 版。
简介
线性代数是数学专业本科生最重要的基础课程之一，其主要内容是讲述线性空间理论和矩阵理论。该课程分两学期完成。本学期主要内容包括：线性方程组的求解；行列式的性质与计算；矩阵的运算（含代数运算、分块运算、初等方阵、可逆方阵等）；矩阵的秩和相抵标准形；多项式理论；线性空间理论（线性相关与无关、极大无关组与秩、基与坐标、子空间运算），线性变换理论（矩阵表示、对偶空间、象与核、矩阵相似、特征值与特征向量）等。
教学目标和基本要求
线性代数是数学专业本科生最重要的基础课程之一。该课程教学目标与基本要求是使学生牢固掌握线性空间的基本理论与矩阵运算技巧，能够熟练地运用线性代数知识解决相关的数学问题，培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力，为后续数学课程的学习打下坚实的基础。
重难点
重点
- 行列式和矩阵运算法则及技巧，特别是矩阵的乘法、分块运算及初等变换；
- 矩阵的秩与相抵及其应用；
- 线性空间的基本理论，特别是向量的线性相关与无关、极大无关组与秩、基与维数等；
- 线性映射和线性变换理论及其几何意义，特征值与特征向量。
难点
- 矩阵运算，特别是乘法与分块的熟练掌握；
- 线性空间的概念及基本理论；
- 线性空间和线性变换问题与矩阵问题的相互转化。
课程章节主要内容及学时分配
第一章 线性方程组（4 学时）：线性方程组的同解变形，高斯消去法及其矩阵表示，一般线性方程组的解法及解的属性。
第二章 行列式（12 学时）：行列式的定义及基本性质，行列式的计算，Laplace 展开定理，Cramer 法则。
第三章 矩阵（14 学时）：矩阵的代数运算及其性质，矩阵的分块运算，矩阵的初等变换,矩阵乘积的行列式，可逆矩阵，初等变换求逆, 矩阵的相抵与秩，相抵标准形及其应用。
第四章 多项式（12 学时）：多项式的定义与运算，最大公因式与欧几里得辗转相除法，因式分解定理，有理系数多项式不可约判定，多元对称多项式。
第五章 线性空间 （15 学时）：线性空间的定义，线性相关与线性无关，极大无关组与秩，线性空间的基、维数与坐标，基变换与坐标变换，线性空间的同构与同态,子空间，子空间的运算，直和，补空间，商空间。
第六章 线性变换（15 学时）：线性映射的定义及性质，线性映射的矩阵表示，对偶空间，象与核，矩阵的相似，特征值与特征向量，矩阵对角化，特征子空间，最小多项式。
习题课（18 学时）。